Dvije kugle, jedan stol i granica koju nijedan računalni program ne može prijeći.
Matematičari Eva Miranda s Politehničkog sveučilišta Katalonije i Isaac Ramos sa ETH Züricha dokazali su da običan dvodimenzionalni bilijarski stol može raditi kao univerzalni Turingov stroj — teorijski predložak za sva računala koja je britanski matematičar Alan Turing opisao 1936. godine. Rad je objavljen u zborniku Proceedings of the National Academy of Sciences.
Njihov trik nije u novom stroju, nego u preslikavanju. Graf računalnog programa prebacili su izravno na bilijarski stol. Položaj kugle u pojedinim dijelovima stola postaje memorija računala i njegovo trenutno stanje. Uski hodnici povezuju te dijelove, a ravni, zakrivljeni i beskrajno vijugavi zidovi odbijaju kuglu tako da čitaju podatke, mijenjaju ih i prelaze na sljedeći korak. Kada izračun dođe do rješenja, kugla udari u označeni dio zida — program je završio.
Zvuči kao matematička igra, ali posljedica je tvrda. Ako kugla svojom putanjom izvodi program, onda neka pitanja o njezinu dugoročnom kretanju postaju identična pitanju hoće li neki kod stati ili će se vrtjeti zauvijek. Računalna znanost odavno je dokazala da nijedan algoritam ne može za svaki program odrediti hoće li završiti. Time što je pokazao da kugla slijedi ista pravila, dvojac je pokazao da ta granica vrijedi i za fizikalno gibanje.
Kaos nije jedina prepreka
Dosad se o nepredvidivosti govorilo uglavnom kroz kaos: sustav je deterministički, ali toliko osjetljiv na početne uvjete da ga praktično ne možemo izračunati. Ovdje je riječ o nečemu drugom i tvrđem. Nije problem u preciznosti mjerenja ni u snazi računala. Problem je u tome što odgovor matematički ne postoji kao izračunljiv.
Autori to i sami formuliraju: „Neodlučivost nameće temeljne granice dugoročnom predviđanju, nadopunjujući i proširujući tradicionalnu ulogu kaosa.” Drugim riječima, čak i da imamo savršen mjerni instrument i beskonačno brz procesor, neka pitanja o budućnosti kugle ostaju bez odgovora.
Zašto nas to dotiče
Ovo nije apstrakcija rezervirana za fakultetske ploče. Isti tip ograničenja pojavljuje se svuda gdje se od modela traži da pogodi budućnost: u prognozama, u simulacijama klime, u financijskim modelima rizika, u predviđanju ponašanja složenih sustava. Ako je i putanja jedne kugle na stolu dijelom nepredvidiva u principu, onda je svaka tvrdnja da se društveni ili gospodarski sustav može modelirati do kraja — pretenciozna.
To je i pitanje koje se u ovakvim radovima obično ne postavlja: kome danas odgovara priča o sveznajućem algoritmu? Desetljećima se gradi industrija oko uvjerenja da će više podataka i brži procesori riješiti svaku neizvjesnost. Dokaz da postoje granice koje nikakav hardver ne pomiče reže po toj premisi.
Igra koja je odavno više od igre
Bilijar nije slučajno odabran. Još od 19. stoljeća fizičari ga koriste kao laboratorij za determinizam — francuski matematičar Pierre-Simon Laplace zamišljao je intelekt koji bi, znajući položaj i brzinu svake čestice, mogao predvidjeti cijelu budućnost svijeta. Upravo je bilijar godinama služio kao najčišći primjer tog sna.
Miranda i Ramos sada su pokazali da taj san ima rupu u samom temelju. Kugla na stolu ne može se uvijek predvidjeti, ne zato što smo slabi, nego zato što je pitanje o njezinoj budućnosti matematički nerješivo. Determinizam ostaje, ali predvidivost ne.
Ostaje otvoreno pitanje koje istraživanje ne rješava: ako granica predviđanja vrijedi za sustave koje smo sami opisali, koliko je tek labava svaka prognoza o svijetu koji nismo opisali do kraja — i zašto se onda donose odluke koje se na takve prognoze pozivaju?
Već 100 g živimo u svijetu gdje Kvantna fizika spada u meanstreema znanosti.
100 g znamo da zapravo živimo u svijetu energije koja se povremeno manifestira u materiju.
Međutim po svaku cijenu se pokušava sačuvati narativ da je sve oko nas tvrdo, čvrsto i materijalno, jer jedino tako sa sigurnošću možeš prodati farmaceutski proizvod ili barral nafte.
Ima onaj vic kada čovjek na ulici ispod bandere obilazi i traži nešto na podu.
Prolaznik ga upita što, a ovaj mu kaže da je izgubio ključeve. Nakon pola sata zajedničkog traženja ga pita zašto si siguran da si baš tu izgubio ključeve.
A ovaj mu kaže – nisam, ali jedino tu ima svjetla za tražiti.
Tekst je u osnovi vrlo dobro pogođen, ali završni dio ide korak dalje od onoga što sam rad zapravo dokazuje. Provjerio sam rad Mirande i Ramosa: objavljen je u PNAS-u 10. rujna 2026. i doista pokazuje da određeni dvodimenzionalni bilijarski sustavi mogu simulirati univerzalni Turingov stroj. Iz toga slijedi neodlučivost određenih pitanja o budućem ponašanju putanje. Što je ovdje stvarno fascinantno?Najvažnija stvar nije da je „bilijarska kugla nepredvidiva”. To bi bilo previše pojednostavljeno. Kugla u ovom matematičkom modelu može biti potpuno deterministička. Ako znamo početne uvjete i pravila odbijanja, postoji točno određena putanja. Problem je drukčiji: Ne postoji opći algoritam koji bi za svaki takav sustav mogao odlučiti što će se dogoditi u budućnosti. To je puno dublja tvrdnja od kaosa. Kod kaosa možemo imati situaciju: odgovor postoji, ali ga je zbog ekstremne osjetljivosti teško izračunati dovoljno precizno. Kod neodlučivosti je situacija: ne postoji univerzalni računalni postupak koji bi dao… Čitaj više »