Matematičar srušio stoljetnu zagonetku beskonačnosti dvodimenzionalnom kartom

Matematičar William Chan s Tehničkog sveučilišta u Beču predložio je da se beskonačnosti ne slažu u jednu ljestvicu, nego u dvodimenzionalnu kartu — i time razriješio zagonetku koja muči matematičare više od stoljeća.

Chan je odustao od aksioma izbora, temeljnog pravila suvremene teorije skupova, i zamijenio ga aksiomom determiniranosti. Rezultat je rad objavljen u časopisu Proceedings of the National Academy of Sciences, u kojem se pokazuje da se beskonačnosti mogu uredno posložiti — ali ne po visini, kao stepenice, nego po dvije koordinate, kao točke na zemljovidu.

Da bi se razumjelo zašto je to važno, treba krenuti od jednostavnog primjera. Ako imamo pet mačaka i pet zdjelica, svakoj mački možemo dodijeliti zdjelicu i tako znati da ih je jednako mnogo. Isti trik radi i kod beskonačnih skupova: prirodnih brojeva i parnih brojeva ima jednako mnogo, iako parni brojevi čine samo polovicu prirodnih. Dovoljno je svakom parnom broju dodijeliti redni broj — dvojci jedinicu, četvorci dvojku, šesterci trojku.

Cantorov zid

Georg Cantor dokazao je krajem 19. stoljeća da taj trik ne uspijeva kod realnih brojeva. Skup brojeva s beskonačno mnogo decimala ne može se popisati kao što se mogu popisati parni brojevi, pa je taj skup veći od skupa prirodnih brojeva — iako su oba beskonačna. Time je otvoreno pitanje koje je generacije matematičara držalo budnima: postoje li beskonačnosti između te dvije, neka međuveličina?

Odgovor je došao, ali ne onakav kakav se očekivao. Unutar uobičajenih matematičkih pravila — Zermelo-Fraenkelove teorije skupova s aksiomom izbora — pokazalo se da to pitanje uopće nije moguće odgovoriti. Pravila igre ne određuju ishod.

Aksiom izbora zvuči bezazleno: ako imamo hrpu nepraznih skupova, iz svakoga možemo izabrati po jedan element. Kod konačnog broja košara jagoda to je očito. Kod beskonačno mnogo košara, bez ikakvog pravila koje kaže što uzeti, više nije očito da takva funkcija izbora postoji. Upravo taj aksiom omogućuje da se beskonačnosti poredaju po veličini, jedna iznad druge, poput prečki na beskonačno dugim ljestvama.

Kad ljestve nestanu

Chan je postavio pitanje koje se rijetko postavlja: što ako ljestve uklonimo? Umjesto aksioma izbora uzeo je aksiom determiniranosti, pravilo iz šezdesetih godina prošlog stoljeća koje kaže da u beskonačnoj igri dvojice igrača jedan od njih uvijek ima strategiju kojom može iznuditi ishod. Tehnički je zahtjevniji i manje intuitivan od aksioma izbora, ali daje matematičku strukturu.

U takvom sustavu Chan je promatrao kako iz beskonačnih skupova nastaju novi. Realni brojevi, primjerice, nastaju tako da na svakom od beskonačno mnogo decimalnih mjesta biramo jednu od deset znamenki. Matematički zapisano, deset na potenciju alef-nula daje veličinu kontinuuma. No umjesto konačnog skupa znamenki može se uzeti jedan beskonačni skup i dignuti ga na potenciju drugoga, čime se definiraju nove beskonačnosti.

I tu nastupa Chanov obrat. Ako imamo beskonačnosti A, B, C i D, možemo li usporediti A na B s C na D? Ako je A veći od C i B veći od D, odgovor je jasan. Ali što kad manji broj dižemo na veću potenciju, a veći na manju? Chan odgovara: te dvije veličine ne moraju biti usporedive uopće. Nema jednog linearnog poretka — potrebne su dvije koordinate. A i B određuju jednu točku na karti, C i D drugu.

Što se time dobiva

Ironija je u tome što se odustajanjem od jedinstvene ljestvice algebra beskonačnosti naglo pojednostavnjuje. Rezultati koji su o beskonačnostima već poznati uklapaju se u tu kartu bez proturječja. Ono što je desetljećima izgledalo kao nerješiv čvor raspada se čim se odbaci pretpostavka da sve beskonačnosti moraju stajati u jednom redu.

Chan i sam ostaje suzdržan pred pitanjem rješava li to drevnu zagonetku veličina beskonačnih skupova. „Vjerojatno ne još jako dugo”, kaže. „Ali to je iznimno jednostavan i plodan novi način razmišljanja o tome kako se beskonačni skupovi mogu organizirati.”

Ovdje valja postaviti pitanje koje se u prikazu istraživanja ne postavlja: koliko je matematička zajednica spremna prihvatiti rezultat koji počiva na odbacivanju aksioma izbora? Taj aksiom nije puka tehnička sitnica — na njemu stoji velik dio moderne analize, topologije i algebre. Raditi bez njega znači graditi kuću bez jednog nosivog zida, i to je razlog zašto se većina matematičara drži Zermelo-Fraenkelove teorije s aksiomom izbora kao standarda.

Chanov doprinos nije rušenje tog standarda. To je pokazivanje da alternativni temelj — onaj koji su matematičari poput Mycielskog i Steinhausa nazirali još šezdesetih — nije jalov, nego vodi do uredne strukture. A to je vrijedno i onda kad se s njim ne slažete.

Ista napetost postoji i izvan matematike. Kad se inzistira na jednoj jedinoj ljestvici, bilo u znanosti, bilo u politici, svaki podatak koji se ne uklapa u nju proglašava se nerješivim ili nepostojećim. Chanov primjer pokazuje da se time ne dobiva ništa osim zida. Ponekad je plodnije priznati da svijet ima više od jedne dimenzije i posložiti ga po dvije koordinate — pa makar to značilo da odustanemo od utješne slike urednih stepenica koje vode u nebo.